ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ
Условия деления:
1) При делении многочлены следует располагать по убывающим степеням.
2) Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.
3) Деление прекращается, когда степень остатка оказывается меньше степени делителя.
Алгоритм деления:
1) Все время производите деление на первый член делителя: первый раз делите на него первый член делимого, а в последующем – первый член остатка (остатков).
2) результаты этих делений первых членов являются частями ответа (решения).
Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.
Пример: Разделим многочлен 2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 на многочлен х2 – x + 1:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1
—————————
х2 – x + 1
Решение.
Произведем деление столбиком:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
НО!
Прежде чем приступить к решению, напомним:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 – это делимое,
х2 – x + 1 – это делитель.
Итак:
Шаг 1. Разделим первый член делимого на первый член делителя:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2х4
—— = 2х4–2 = 2x2
х2
Мы получили первый член частного: 2x2. Вписываем его в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
│ 2x2
Шаг 2. Умножим полученное частное на делитель, как это обычно и делается при делении столбиком:
2x2 (х2 – x + 1) = 2x4 – 2x3 + 2x2
Полученный результат пишем под делимым и производим вычитание. При этом к вычитаемому добавляем нули в соответствующих степенях и значениях, чтобы уменьшаемое и вычитаемое имели одинаковое количество членов (причину поймете во время дальнейших действий):
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2
Теперь произведем это вычитание отдельно, сводя подобные члены. При этом нули опустим (здесь в них нет смысла):
(2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1) – (2x4 – 2x3 + 2x2) = 2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 – 2x4 + 2x3 – 2x2 =
= x3 + 3x2 – 8x + 1
Мы получили первый остаток, а наш столбик обрел следующий вид:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
Шаг 3. Делим первый член остатка на первый член делителя и получаем второй член частного:
x3
— = x3–2 = x
x2
Вписываем его в наш столбик (добавляем к частному) со знаком +, так как х положительное число:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
Шаг 4. Теперь уже этот второй член частного умножаем на делитель (все по правилам деления в столбик):
x(х2 – x + 1) = x3 – x2 + x
К полученному результату добавляем ноль и вписываем его в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
x3 – x2 + x + 0
Снова производим вычитание:
(x3 + 3x2 – 8x + 1) – (x3 – x2 + x) = x3 + 3x2 – 8x + 1 – x3 + x2 – x = 4x2 – 9x + 1.
Вписываем результат вычитания в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
x3 – x2 + x + 0
——————————
4x2 – 9x + 1
Мы видим, что и этот остаток не равен нулю, и его степень не меньше степени делителя, а равна ей. Значит, деление продолжается.
Шаг 5. Повторяем действие 3, но уже со вторым остатком – делим первый член второго остатка на первый член делителя и получаем третий член частного:
4x2
— = 4
x2
Вписываем в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
x3 – x2 + x + 0
——————————
4x2 – 9x + 1
Шаг 6. Разумеется, повторяем действие 4, но уже с третьим членом частного – умножаем третий член частного на делитель:
4(х2 – x + 1) = 4x2 – 4x + 4
Вписываем результат умножения в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
x3 – x2 + x + 0
——————————
4x2 – 9x + 1
4x2 – 4x + 4
Производим вычитание:
(4x2 – 9x + 1) – (4x2 – 4x + 4) = 4x2 – 9x + 1 – 4x2 + 4x – 4 = –5x – 3.
Вписываем результат вычитания в столбик:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
x3 + 3x2 – 8x + 1
x3 – x2 + x + 0
——————————
4x2 – 9x + 1
4x2 – 4x + 4
——————————
–5x – 3
Степень этого числа меньше степени делителя – следовательно, процесс деления завершен. У нас получился результат с остатком.
Ответ:
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1
—————————— = 2x2 + x + 4 (остаток –5x – 3)
х2 – x + 1
или
2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 –5x – 3
—————————— = 2x2 + x + 4 + —————
х2 – x + 1 х2 – x + 1
Пример решен.
